Sekant ve Sekant Küp İntegrali

Aug 20, 2018 691 kez okundu. Matematik

İntegral hesaplarında bazen karşımıza çok zorlu integraller çıkar. Bunlardan biri sekant küpün integralidir. Bu zorlu integrali hesaplamak için önce sekantın integralini bulmamız gerekir. Yani şu:

$\int sec^{3}x dx$

Oldukça korkutucu görünüyor değil mi? Hiçte korkutucu değil. Bu integrali hesaplamadan önce, sekant fonksiyonunun integralini hesaplamayı görelim. Çünkü sekant küpün integralini hesaplarken lazım olacak.

Soru: $\int \sec x dx=?$

Cevap: Bu integrali hesaplamak için, integrant $\sec x + \tan x$ ile çarpılıp bölünür. Bu işlemi neden yaptığımızı birazdan anlayacaksınız. Denileni yaparsak;

$\int \sec x dx=\int \dfrac{\sec^{2}x+\tan x \sec x}{\sec x + \tan x} dx$

Burada, pay, paydanın türevi olduğuna göre en son elde edilen integral, paydanın doğal logartimasına eşittir. O zaman

$\int \sec x dx=\ln |\sec x + \tan x|+c$

olmaktadır. Sekantın integralini alabildiğimize göre şimdi, sekant fonksiyonunun küpünün integralini hesaplamaya başlayabiliriz.

Soru: $\int sec^{3}x dx=?$

Cevap: İntegrali hesaplamak için sekant fonksiyonunun kuvvetlerini parçalayalım:

$\int \sec^{3}x dx=\int \sec x \sec^{2}x dx$

Şimdi, kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. $u=\sec x$ ve $dv=\sec^{2}x dx$ diyelim. O zaman $v=\tan x$ ve $du=\tan x \sec x$ olur. Buradan devam edersek,

\begin{equation} \begin{split} \int \sec^{3}x dx & =\int \sec x \sec^{2}x dx \ & = \tan x \sec x-\int \tan x \tan x \sec x dx \ & = \tan x \sec x-\int \tan^{2}x \sec x dx \ & = \tan x \sec x-\int (\sec^{2}x-1) \sec x dx \ & = \tan x \sec x-\int \sec^{3}x dx+\int \sec x dx \ \end{split} \end{equation}

bulunur. Buradaki son satırda, eşitliğin sağ tarafındaki sekant küp integralini sol tarafa atar ve yukarıda bulduğumuz sekant fonksiyonunun integral değerini yerine yazarsak,

\begin{equation} \begin{split} 2\int \sec^{3}x dx & =\tan x \sec x+\int \sec x dx \ & = \dfrac{1}{2} \tan x \sec x + \dfrac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x|+c \end{split} \end{equation}

bulunur. Böylece sekant küp fonksiyonunun integralini hesaplamış oluruz.

Gürkan Özsoy Blog

Sekant ve Sekant Küp İntegrali