Sekant ve Sekant Küp İntegrali

İntegral hesaplarında bazen karşımıza çok zorlu integraller çıkar. Bunlardan biri sekant küpün integralidir. Hesaplamak istediğimiz integral şu:

$\int sec^{3}x dx$

Oldukça korkutucu görünüyor değil mi? Hiçte korkutucu değil. Bu integrali hesaplamadan önce, sekant fonksiyonunun integralini hesaplamayı görelim. Çünkü sekant küpün integralini hesaplarken lazım olacak.

Soru: $\int \sec x dx=?$

Cevap: Bu integrali hesaplamak için, integrant $\sec x + \tan x$ ile çarpılıp bölünür. Bu işlemi neden yaptığımızı birazdan anlayacaksınız. Denileni yaparsak;

$\int \sec x dx=\int \dfrac{\sec^{2}x+\tan x \sec x}{\sec x + \tan x} dx$

Burada pay, paydanın türevi olduğuna göre en son elde edilen integral, paydanın doğal logartimasına eşittir. O zaman

$\int \sec x dx=\ln |\sec x + \tan x|+c$

olmaktadır. Sekantın integralini alabildiğimize göre şimdi, sekant fonksiyonunun küpünün integralini hesaplamaya başlayabiliriz.

Soru: $\int sec^{3}x dx=?$

Cevap: İntegrali hesaplamak için sekant fonksiyonunun kuvvetlerini parçalayalım:

$\int \sec^{3}x dx=\int \sec x \sec^{2}x dx$

Şimdi, kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. $u=\sec x$ ve $dv=\sec^{2}x dx$ diyelim. O zaman $v=\tan x$ ve $du=\tan x \sec x$ olur. Buradan devam edersek,

\begin{equation} \begin{split} \int \sec^{3}x dx & =\int \sec x \sec^{2}x dx \ & = \tan x \sec x-\int \tan x \tan x \sec x dx \ & = \tan x \sec x-\int \tan^{2}x \sec x dx \ & = \tan x \sec x-\int (\sec^{2}x-1) \sec x dx \ & = \tan x \sec x-\int \sec^{3}x dx+\int \sec x dx \ \end{split} \end{equation}

bulunur. Buradaki son satırda, eşitliğin sağ tarafındaki sekant küp integralini sol tarafa atar ve yukarıda bulduğumuz sekant fonksiyonunun integral değerini yerine yazarsak,

\begin{equation} \begin{split} 2\int \sec^{3}x dx & =\tan x \sec x+\int \sec x dx \ & = \dfrac{1}{2} \tan x \sec x + \dfrac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x|+c \end{split} \end{equation}

bulunur. Böylece sekant küp fonksiyonunun integralini hesaplamış oluruz.

Yorumlar