Hakkımda . Gizlilik . İletişim . RSS . Twitter


Saccheri Dikdörtgeni

24 Kasım 2019

Saccheri Dikdörtgeni

Cizvit rahibi Gerolamo Saccheri, Euclides ab Omni Naevo Vindicatus1 adlı eserini 1733'te Pavia'da yayımladı. Amacı Öklit'in Beşinci Aksiyom'unu incelemekti. Bunu yaparken, ilki Öklit geometrisine ait olan üç olasılığı düşünmüş, ancak farklı olarak dörtgen kullanmıştı.

ABCD dörtgeninin (yukarıda, kapak resminde görüyorsunuz) A ve B açılarının dik açı olduğunu ve $|AC|=|BD|$ olduğunu kabul edelim. O zaman, Öklit geometrisi C ve D açılarının da dik olduğunu söyler. Açıkça belirgin olmasa da, bu tür bir dörtgende C ve D dik açı ise Beşinci Aksiyom ortaya çıkar.

Saccheri Öklit'in Beşinci Aksiyomu'nu2 kullanmadan, C ve D açılarının birbirine eşit olduğunu kanıtladı. Geriye iki farklı olasılık kalıyordu:

  • Geniş açı varsayımı: C ve D açılarının her ikisi de dik açıdan büyüktür.
  • Dar açı varsayımı: C ve D açılarının ikisi de dik açıdan küçüktür.

Saccheri, bu varsayımları sırayla olumlayıp mantıksal çelişki bulmayı hedeflemiştir. Çelişmeleri durumunda Öklit geometrisi mantıklı tek olasılık niteliği kazanacaktı.

Saccheri, geniş açı varsayımıyla başlayıp, C ve D açılarının gerçekten dik olması gerektiği sonucuna varan (vardığını düşündüğü) bir dizi teorem elde etti. Bu bir çelişkiydi, geniş açı varsayımı yanlış olmalıydı. Ardından dar açı varsayımını ele aldı; varsayım, hepsi doğru ve özünde oldukça ilginç bir dizi teoreme yol açmıştı. Sonunda hepsi bir noktadan geçen bir doğru kümesiyle ilgili ve epey karmaşık bir teorem kanıtladı. Teorem, bu doğrulardan ikisinin sonsuzda ortak bir dikmesinin olacağını dolaylı olarak anlatıyordu. Aslında bu bir çelişki değildi. Ama Saccheri öyle düşünmüştü ve bu şekilde dar açı varsayımını çürüttüğünü sanmıştı.

Geriye sadece Öklit geometrisi kalınca, Saccheri programının ve dolayısıyla Öklit geometrisinin doğrulandığını düşünmüştü. Ancak dar açı varsayımıyla Saccheri'nin aslında bir çelişki elde etmediğini, sadece şaşırtıcı bir teorem ortaya koyduğunu fark edenler oldu. 1759'da d'Alembert Öklit'in Beşinci Aksiyomu'nun statüsü için "geometrinin öğeleri arasındaki rezalet" ifadesini kullanmıştır3.

Notlar:

1: Tüm Hatalardan Uzak Öklit.

2: Öklit'in Beşinci Aksiyomu: Bir doğru iki doğruyu kesiyorsa ve aynı yönde yaptığı iç açıların toplamı iki dik açıdan küçük ise, bu iki doğru bu yönde sonsuza doğru uzatıldığında mutlaka kesişir.

3:Bu yazı Kısa Matematik Tarihi adlı çalışmadan yararlanarak hazırlanmıştır.