Matematiğin En Güzel Eşitliği

Matematiğin en güzel eşitliği $e^{i \pi}+1=0$ eşitliğidir. Matematikteki beş sabit; $e, i, \pi, 1, 0$ bu eşitlikte toplanmıştır.
Peki, bu eşitliğin ispatını nasıl yapabiliriz? Bu eşitlik, Euler özdeşliği diye bildiğimiz
ifadesinde $x=\pi$ alınmasının sonucudur. O zaman bize Euler özdeşliğinin ispatı lazım.
Tam bir ispat yazmak için önce e sayısını ve ardından $e^{i\theta}$'nın ne anlama geldiğini tanımlamamız gerekiyor. Bunu şimdilik Maclaurin serilerini kullanarak yapsak olur. Buna göre
idi. Burada son seride $z=ix$ alabiliriz. Çünkü her $x \in \mathbb{R}$ için $e^{ix}$ fonksiyonu, tanımlı bir karmaşık sayıyı göstermekte, dolayısıyla $e^{ix}$ serisi yakınsak olmaktadır. Buradan devam edersek:
Böylece Euler özdeşliğini kısmen de olsa ispatlamış olduk. Bu özdeşlikte $x= \pi$ alırsak
elde edilmiş olur.