Hakkımda . Gizlilik . İletişim . RSS . Twitter


Matematiğin En Güzel Eşitliği

27 Kasım 2019

Matematiğin En Güzel Eşitliği

Matematiğin en güzel eşitliği $e^{i \pi}+1=0$ eşitliğidir. Matematikteki beş sabit; $e, i, \pi, 1, 0$ bu eşitlikte toplanmıştır.

Peki, bu eşitliğin ispatını nasıl yapabiliriz? Bu eşitlik, Euler özdeşliği diye bildiğimiz

$e^{ix}=\cos x+i \sin x$

ifadesinde $x=\pi$ alınmasının sonucudur. O zaman bize Euler özdeşliğinin ispatı lazım.

Tam bir ispat yazmak için önce e sayısını ve ardından $e^{i\theta}$'nın ne anlama geldiğini tanımlamamız gerekiyor. Bunu şimdilik Maclaurin serilerini kullanarak yapsak olur. Buna göre

$\begin{align} \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \\ e^z&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots \\ \end{align}$

idi. Burada son seride $z=ix$ alabiliriz. Çünkü her $x \in \mathbb{R}$ için $e^{ix}$ fonksiyonu, tanımlı bir karmaşık sayıyı göstermekte, dolayısıyla $e^{ix}$ serisi yakınsak olmaktadır. Buradan devam edersek:

$\begin{align} e^{ix}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\cdots \\ &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\cdots \\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right) \\ &=\cos x+i\sin x \\ \end{align}$

Böylece Euler özdeşliğini kısmen de olsa ispatlamış olduk. Bu özdeşlikte $x= \pi$ alırsak

$e^{i \pi}=\cos \pi+i\sin \pi \Rightarrow e^{i \pi}=-1 \Rightarrow e^{i \pi}+1=0$

elde edilmiş olur.