Hakkımda . Gizlilik . İletişim . RSS . Twitter


Euclid (Düzlem Geometrinin Temel) Aksiyomları

22 Kasım 2019

Euclid (Düzlem Geometrinin Temel) Aksiyomları

Geometri ilk ve orta öğretimde bazılarımızın nefret ettiği bir ders. :) Aslında zevkli bir ders ama insan anlamayınca ve geometri sorularını çözemeyince nefret ediyor. Boşa denilmemiş; insan bilmediğinin düşmanıdır. Bir hırsla geometri çalışmaya karar verenlere ve geometri tekrarı yapacaklara kaynaklık etmesi için bu kısa notu hazırladım.

geometri karikatür

Öncelikle aksiyom kavramını vermekle işe başlayalım.

Bu aksiyomlar ne işe yarayacak derseniz, geometrideki teoremlerin çoğu, bu temel gerçeklere dayanır. Bunları bilmek, bu yüzden önemlidir.

Aksiyom nedir?

Aksiyom, doğruluğu ilk baştan kabul edilen önermelerdir. Doğrulukları en azından sezgisel olarak görülür, ispatlanmaz veya ispatına gerek duyulmaz. Temel ilkelerdir. Genel olarak aksiyomlar;

  • Basit ve iyi anlaşılır olmalıdır.
  • Olabildiğince az sayıda olmalıdır.
  • Fazlalık içermemelidir.
  • Birbirinden bağımsız olmalı, diğerlerinden elde edilmemelidir.
  • Doğurdukları sonuçlar birbiriyle çelişmemelidir.
  • Birbirini tamamlayıcı olmalı ve ele alınan sistemi, tam olarak incelemeye yetmelidir.

Bunları belirttikten sonra gelelim aksiyomlara.

Aksiyom 1: Farklı iki noktayı üzerinde barındıran bir tek doğru vardır.

Bu aksiyomu, farklı iki noktadan bir doğru geçer şeklinde ifade etmekte mümkündür.

Aksiyom 2: Her doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında en az bir nokta vardır.

Aksiyom 3: Düzlemde bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır.

Bunu biraz açalım.

Düzlemde bir N noktası ile bir d doğrusu verilsin. N noktası d doğrusu üzerinde değildir. Bu durumda N noktasından geçen ve d//c olacak şekilde bir tek c doğrusu çizebiliriz.

Aksiyom 4: A, B, C birbirinden farklı fakat doğrusal noktalar ve B noktası A ile C arasında ise, B aynı zamanda C ile A arasındadır.

Aksiyom 5: A ve C birbirinden farklı iki nokta ise, A ile C arasında en az bir B noktası; C de A ile D arasında olacak şekilde en az bir D noktası vardır.

Aksiyom 6: Farklı ve doğrusal üç noktadan yalnız birisi, öteki ikisinin arasındadır.

Aksiyom 7: A, B, C ve D farklı ve doğrusal noktalar olmak üzere;

– B, A ile C ve A ile D arasında,

– C, A ile D ve B ile D arasında,

olacak şekilde aynı doğru üzerine yerleştirilebilirler.

Bunlara ek olarak bir de şu aksiyomu verelim:

Aksiyom 8 (Pash Aksiyomu): A, B, C doğrusal olmayan farklı üç nokta ve d, bunları içinde bulunduran düzlemde bir doğru olsun. Eğer d doğrusu A, B ve C'nin hiçbirinden geçmiyorsa ve $[AB]$, $[BC]$ ve $[AC]$ doğru parçalarından birini kesiyorsa, öteki ikisinden birini de keser.

Burada söylenenleri bir kağıda çizerek kendiniz görebilirsiniz. Temel aksiyomlar bunlardır.