Bazı Limitler ve İntegral Hesap

Bazı özel limitleri integral yardımıyla hesaplayabiliriz. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi kullanırız...

Bazı Limitler ve İntegral Hesap
Limitle integral hesabı

Bazı özel limitleri integral yardımıyla hesaplayabiliriz. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi kullanırız:

Teorem: Eğer $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon ise

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(a+k \dfrac{b-a}{n})=\int \limits_{a}^{b} f(x) dx$

dir.

Hemen bu teoremin ispatına geçelim.

İspat: [a,b] aralığını n eşit parçaya bölelim. Her bir alt aralığın uzunluğu

$\Delta x_k=\dfrac{b-a}{n}$

dir. $\xi_k=a+k\dfrac{b-a}{n}$ alınırsa

$\lim \limits_{\vert\vert P \vert\vert} \sum \limits_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(a+k \dfrac{b-a}{n})$

olur. Sol taraf f'nin [a,b] kapalı aralığındaki integrali olduğuna göre,

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(a+k \dfrac{b-a}{n})=\int \limits_{a}^{b} f(x) dx$

yazılır. Burada özel olarak a=0 ve b=1 alınırsa,

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(\dfrac{k}{n})=\int \limits_{0}^{1} f(x) dx$

bulunur.

Hemen birkaç örnekle teoremi nasıl kullanacağımızı öğrenelim:

Örnek: $\lambda \neq 1$ olmak üzere,

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1+2^{\lambda}+3^{\lambda}+ \cdots +n^{\lambda}}{n^{\lambda+1}}=\dfrac{1}{\lambda+1}$

olduğunu gösterelim.

Çözüm: Yukarıdaki teoremi hatırlayacağız.

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1+2^{\lambda}+3^{\lambda}+ \cdots +n^{\lambda}}{n^{\lambda+1}}= \\ \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} [ (\dfrac{1}{n})^{\lambda} + (\dfrac{2}{n})^{\lambda} + \cdots + (\dfrac{n}{n})^{\lambda} ]= \\ \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} (\dfrac{k}{n})^{\lambda}=\int \limits_{0}^{1} x^{\lambda} dx= \dfrac{1}{\lambda+1}$

Örnek: Aşağıdaki limiti hesaplayalım:

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} (e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{n-1}{n}}+e^{\frac{n}{n}})$

Çözüm: Yine yukarıdaki teoremi kullanıyoruz:

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} (e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{n-1}{n}}+e^{\frac{n}{n}})=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} (e^{\frac{k}{n}})=\int \limits_{0}^{1} e^x dx=e-1$